Docker移管後に、管理画面からWordPressの自動アップグレードを実行すると、画面の右側が真っ白になりアップグレードが失敗するようになりました。具体的にどのファイルが影響していたか分かりませんでしたが、Apacheの実行ユーザーに対し、WordPressのインストールディレクトリの配下のファイルへの書き込み権限を付与すると、問題が解決しました。

$ chmod u+w /war/www/html -R